Linear Programing

Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.
Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.
Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :
1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi
2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan
3. ada beberapa alternatif penyelesaian
4. hubungan matematis bersifat linear
Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:
1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.
2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.
3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.
4. divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.
5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.
Dalam Linear Programming, ada dua pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih.

Linier Programming dengan Metode Grafik :
Fungsi Tujuan Maksimisasi

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :
1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
2. identifikasikan tujuan dan kendalanya
3. definisikan variabel keputusannya
4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis.
Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Bete Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.
Namun untuk meraih keuntungan tersebut Bete Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:
TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Bete Furniture

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).
Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.
1. Fungsi Tujuan
Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :
P = ($7 x jumlah meja Yang diproduksi) + ($5 x jumlah kursi yang diproduksi)

Atau secara matematis dapat dituliskan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2

2. Fungsi kendala
Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :
4 X1 + 3 X2 ≤ 240

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (meja) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :
2X1 + 1 X2 ≤ 100

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa
X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2.
Fungsi kendala :
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)
2X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)
X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama)
X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.
4 X1 + 3 X2 = 240
Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.
Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0.
Kendala I: 4 X1 + 3 X2 = 240
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240/4
X1 = 60.
memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).

Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1 =0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).

Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100
X2 = 100 – 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
4 X1 + 3 (100 – 2 X1) = 240
4 X1 + 300 – 6 X1 = 240
– 2 X1 = 240 – 300
– 2 X1 = – 60
X1 = -60/-2 = 30.
X2 = 100 – 2 X1
X2 = 100 – 2 * 30
X2 = 100 – 60
X2 = 40
Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).
Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu
1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)
2. dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.
Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.
Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.
Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.

*Semoga bermanfaat bagi kawan2 yang mengambil mata kuliah Operasional Riset maupun Teori Pengambilan Keputusan

Posted on April 27, 2011, in Uncategorized. Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: